Χάος και Ιατρική

Τοπολογία και δυναμική πολύπλοκων συστημάτων

Το Χάος στον άνθρωπο

Το κύριο χαρακτηριστικό των βιολογικών ιστών είναι η ικανότητά τους να αυτοπροσαρμόζονται εύκολα σε κάθε απότομη και απροσδόκητη μεταβολή (ερέθισμα) του περιβάλλοντος. Πλήθος βιολογικών ιστών, όπως :

·         Το βρογχοπνευμονικό δίκτυο

   
    

οι κοιλότητες στη παραπάνω εικόνα είναι οι κυψελίδες στον πνεύμονα μας

οι βρογχικοί σωλήνες διακλαδώνονται ξανά και ξανά στους πνεύμονες, στη φάση της εμβρυακής ανάπτυξης, έως και είκοσι φορές, καταλήγοντας τελικά σε ένα φυσικό φράκταλ δίκτυο μικρότερων σωλήνων, που τροφοδοτούν με οξυγόνο εκατομμύρια μικροσκοπικούς κυψελωτούς αεροφόρους σάκκους.

·         Ο εγκεφαλικός φλοιός

 

    όπως και κάποιοι από τα δισεκατομύρια νευρώνες  του εγκεφάλου μας
  
 

·         Το εσωτερικό τοίχωμα του λεπτού εντέρου

 

οι πτυχές στην επιφάνεια του αυξάνουν την επιφάνεια του

  

·         Ο προστάτης

·         Ο νεφρός

       

·         Τα οστά

 

·         Και όλες οι πρωτείνες

      

      

        ανθρώπινο ωάριο (πάνω στην μύτη καρφίτσας), καλυμμένο με γλυκοπρωτεϊνη, 
        που το προστατεύει και το βοηθά να δεσμεύσει τα σπερματοζωάρια.

       κάτω σπερματοζωάρια που προσπαθούν να γονιμοποιήσουν ένα ωάριο

      
 
         
έχουν δομή φράκταλ, που όταν διεγερθεί από ένα παλμικό ερέθισμα, παρουσιάζει μη διατηρητική χαοτική λειτουργία με απλούς ή πολλαπλούς συνυπάρχοντες ελκυστές,  που εξασφαλίζει στον ιστό τα εξής πλεονεκτήματα:

    1.     Σε μικρούς όγκους εμπεριέχονται μεγάλες επιφάνειες  (ο πνευμονικός ιστός καταλαμβάνει όγκο μόλις 0,1 λίτρο, αλλά η επιφάνεια του είναι περίπου όση ενός γηπέδου τένις).

    2.   Η fractal δομή επιτρέπει ταχύτερη  και αποτελεσματικότερη διάχυση και μίξη αερίων στους πνεύμονες ή υγρών στον προστάτη.

    3.     Η fractal δομή των ιστών της θωρακικής κοιλότητας αποσβαίνει αποτελε-σματικότερα τους καρδιακούς παλμούς, από ότι μια ευκλείδεια δομή, γι αυτό και δεν τους αντιλαμβανόμαστε.

     4.   Η fractal δομή μπορεί να κατασκευαστεί σε ελάχιστο χρόνο,  με μια απλούστατη εντολή (αλγόριθμο), που επαναλαμβάνεται απλά σε πολλές κλίμακες ταυτόχρονα (αν η δομή της γυναικείας μήτρας δεν είχε fractal δομή, η κύηση θα διαρκούσε εκατοντάδες χρόνια).

      5.   Η fractal δομή των ιστών παρουσιάζει μεγάλη αναισθησία  σε τυχαίες διαταραχές, επιτρέπει δηλαδή τη βραδεία αύξηση «μορφογεννητικών σφαλμάτων» λόγω μεταλλαγών (με λογαριθμικό ρυθμό, ενώ όλες οι νεοπλασίες αυξάνονται εκθετικά γιατί έχουν ευκλείδεια δομή).

Η χαοτική δυναμική στην ιατρική

άρθρο του Ιωάννη Σ. Νίκολη

    Το κύριο ίσως χαρακτηριστικό ενός οιουδήποτε υγιούς βιολογικού ιστού είναι η ικανότητα άνετης αυτοπροσαρμογής σε απότομα και απροσδόκητα περιβαλλοντικά ερεθίσματα. Δεν είναι τυχαίο ότι πλείστοι βιολογικοί ιστοί είναι δομικά μεν fractals, λειτουργικά δε χαοτικοί παράξενοι ελκυστές.

      Αλλά τι είναι χάος και fractals; Κατ' αρχάς, η χαοτική δυναμική αφορά αποκλειστικώς και μόνο μη γραμμικά δυναμικά συστήματα, συστήματα δηλαδή όπου καθ' έκαστα μεταβλητές συνδέονται όχι προσθετικά αλλά πολλαπλασιαστικά και οι καθ' έκαστα λύσεις των συστημάτων αυτών δεν είναι γραμμικά υπερθέσιμες αλλά μάλλον συμπληρωματικές και αμοιβαία αποκλειόμενες. 

    Δεύτερον, τα χαοτικά συστήματα, ενώ είναι εν γένει ολιγοδιάστατα και πλήρως ντετερμινιστικά, είναι και απρόβλεπτα από πλευράς μακράς χρονικής εξελίξεως λόγω ευαίσθητης εξάρτησης της πορείας τους από τις αρχικές συνθήκες «εκκινήσεως». Τούτο σημαίνει ότι μικροδιακυμάνσεις στις αρχικές συνθήκες πολλαπλασιάζονται στον χρόνο κατά μέσον όρον εκθετικά έτσι ώστε δύο «τροχιές» του συγκεκριμένου συστήματος που εκκινούν με μικροδιαφορές στις αρχικές συνθήκες να αποκλίνουν τάχιστα.

    Αν όμως υπάρχουν κατευθύνσεις κατά τις οποίες αρχικά γειτονικές τροχιές αποκλίνουν εκθετικά, υπάρχουν σε κάθε χαοτικό σύστημα και κατευθύνσεις κατά τις οποίες αρχικά απομακρυσμένες τροχιές συγκλίνουν εκθετικά. 

    Ετσι, αν θεωρήσουμε ότι το σύστημα δειγματοληπτεί ούτως ειπείν τον χώρο των καταστάσεων στον οποίον εξελίσσεται μέσω των δυναμικών «ψευδοποδίων» του, δηλαδή των τροχιών του, τότε αντιλαμβανόμεθα ότι κατά τις κατευθύνσεις των αποκλινουσών τροχιών ο χώρος των καταστάσεων δειγματοληπτείται όλο και πιο αραιά· έτσι, αρχικές αβεβαιότητες αυξάνονται, με αποτέλεσμα το χαοτικό μας σύστημα να δρα ουσιαστικά κατά τις κατευθύνσεις αυτές σαν πηγή εντροπίας ενώ κατά τις κατευθύνσεις των συγκλινουσών τροχιών αρχικές αβεβαιότητες «συμπιέζονται» προοδευτικά ώστε να κάνουν το σύστημά μας να δρα σαν πηγή πληροφορίας. 

    Για την κατηγορία των «διατηρητικών» χαοτικών συστημάτων οι διαγραφόμενοι «όγκοι» στον χώρο των καταστάσεων παραμένουν σταθεροί κατά την εξέλιξη του συστήματος, δηλαδή ο ρυθμός παραγωγής εντροπίας εξισορροπείται ακριβώς από τον ρυθμό παραγωγής πληροφορίας. Για την πολύ ενδιαφέρουσα όμως κατηγορία των μη διατηρητικών χαοτικών συστημάτων που έχουν και το πρακτικό ενδιαφέρον οι όγκοι στον χώρο των καταστάσεων συρρικνούνται προοδευτικά με ασυμπτωματική τιμή το μηδέν, που σημαίνει ότι ο μέσος ρυθμός παραγωγής πληροφορίας είναι μεγαλύτερος από τον μέσο ρυθμό παραγωγής εντροπίας. 

       Ιδεώδη μοντέλα 

    Τα συστήματα αυτά έχουν λοιπόν το χαρακτηριστικό της ασυμπτωματικής ευστάθειας και μάλιστα σε πολλαπλό βαθμό: έχουν, δηλαδή, την ιδιότητα εξελισσόμενα από διαφορετικά υποσύνολα αρχικών συνθηκών να καταλήγουν σε συνυπάρχοντες πολλαπλούς ελκυστές (attractors), καθένας των οποίων δρα όπως ειπείν σαν αφαίρεση ή abstraction, σαν «συμπιεστής» ή σαν «γνωστική ρουφήχτρα», αν θέλετε, ενός πεπερασμένου υποσυνόλου αρχικών συνθηκών που λέγεται «κοίτη έλξης». Οι συνυπάρχοντες λοιπόν ελκυστές ενός τέτοιου μη διατηρητικού χαοτικού συστήματος μπορούν να παίξουν τον ρόλο συνεπτηγμένων κατηγοριών ή μνημών στις οποίες το υπό εξομοίωση γνωστικό σύστημα διαμερίζει ένα αρχικά αδιαφοροποίητο σύνολο αρχικών συνθηκών ή εξωτερικών ερεθισμάτων.

      Η ιδιότητα αυτή καθιστά τα μη διατηρητικά χαοτικά συστήματα ιδεώδη μοντέλα (πρότυπα) βιολογικών επεξεργαστών πληροφορίας, τοσούτον μάλλον καθ' όσον η συνύπαρξη «θορύβου» και τάξεως σε έναν χαοτικό ελκυστή συνάδει προς τη φύση μιας βιολογικής μνήμης, η οποία, μακράν του να είναι «στατική» ή περιοδικώς επαναλαμβανόμενη, ενέχει στοιχεία αυτοσχεδιασμού και εξελίξεως.

Η τοπολογία των χαοτικών ελκυστών είναι fractal (μορφοκλασματική). Μια fractal δομή χαρακτηρίζεται (κατ' αντιδιαστολή προς τα ευκλείδεια γεωμετρικά σχήματα) από αναλλοίωτες ιδιότητες σε αλλαγή κλίμακας και από κλασματικούς βαθμούς ελευθερίας.

      Δεν είναι ίσως τυχαίο ότι πλείστοι βιολογικοί ιστοί (το βρογχοπνευμονικό δένδρο, ο προστάτης, ο εγκεφαλικός φλοιός, το εσωτερικό τοίχωμα του λεπτού εντέρου, το κυκλοφορικό σύστημα των αρτηριών και φλεβών κλπ. καθώς και όλες οι πρωτεΐνες) έχουν fractal δομή, είναι δε αξιοσημείωτο ότι όταν μια fractal (αυτοόμοια σε μετασχηματισμούς κλίμακας) δομή διεγερθεί από ένα παλμικό ερέθισμα παρουσιάζει μη διατηρητική χαοτική λειτουργία με απλούς ή πολλαπλούς συνυπάρχοντες ελκυστές. 

      Τέσσερα πλεονεκτήματα 

      Η χαοτική δομή εξασφαλίζει σε ένα βιολογικό ιστό τα ακόλουθα πλεονεκτήματα:

   1) Σε πολύ μικρούς όγκους εμπεριέχονται τεράστιες επιφάνειες (π.χ. ο βρογχοπνευμονικός ιστός του ανθρώπου καταλαμβάνει όγκο μόνο ~ 0.1 lt αλλά, αν η επιφάνειά του απλωθεί σε μια στρώση πάχους μιας κυτταρικής διαμέτρου, καταλαμβάνει την έκταση περίπου... ενός γηπέδου τένις). 

      Ας σκεφθούμε τι θα συνέβαινε αν οι βιολογικοί ιστοί ήσαν «ευκλείδεια στερεά»: τότε ένα βιολογικό ον διπλασίου επί παραδείγματι ύψους θα είχε τετραπλάσια επιφάνεια αλλά οκταπλάσιο βάρος. Αντιλαμβάνεται κανείς αμέσως ότι πέραν ενός ορίου ένας τέτοιος οργανισμός θα κατέρρεε υπό το ίδιον αυτού βάρος. Η fractal δομή αντιπαρέρχεται ένα τέτοιο ενδεχόμενο δημιουργώντας δομές που στον τρισδιάστατο π.χ. καρτεσιανό χώρο έχουν διαστατικότητα μεταξύ 2 και 3, δηλαδή μεταξύ μιας ευκλείδειας επιφάνειας και ενός ευκλείδειου όγκου. 

     2) Σε ένα σύνηθες ευκλείδειο στερεό ή επιφάνεια ο «βαθμός διαχυτότητας» μιας ουσίας υπό την επίδραση τυχαίων διακυμάνσεων (θορύβου) είναι ευθέως ανάλογος του χρόνου t. Αποδεικνύεται ότι σε fractal δομές ο βαθμός διαχυτότητας αυξάνεται ταχύτερα ως δύναμη του tv (v > 1). Ετσι, π.χ. στους πνεύμονες ή στον προστάτη η fractal δομή επιτρέπει ταχύτερη και αποτελεσματικότερη μείξη αερίων και υγρών αντίστοιχα. (Το φαινόμενο αυτό καλείται «υπερ-διάχυση»). 

      3) Μια fractal δομή είναι δυνατόν να κατασκευασθεί σε μικρό χρόνο από έναν απλό αλγόριθμο, ο οποίος επαναλαμβάνει εαυτόν σε πολλές κλίμακες ταυτοχρόνως χωρίς ουσιώδεις αλλαγές. Έτσι ο γεννητικός αλγόριθμος εν προκειμένω χρειάζεται για την κατασκευή ενός βιολογικού ιστού πολύ μικρότερο χρόνο από αυτόν που θα απαιτούσε η

     4) Ακριβώς επειδή μια fractal δομή εμπεριέχει πολλαπλές κλίμακες, επιτρέπει βραδεία αύξηση του λεγομένου «μορφογεννητικού σφάλματος», δηλαδή του μοιραίου σφάλματος (λόγω μεταλλαγών) ανακατασκευής από γενεάς εις γενεάν ενός συγκεκριμένου ιστού.

 

      Στην περιοχή της καρδιολογίας 

    Μια διαταραχή λόγω μεταλλαγών θα ισοδυναμούσε πρακτικά με την παρασιτική εισαγωγή μιας νέας κλίμακας. Αν όμως στην υπό κατασκευή fractal δομή η κλίμακα αυτή προϋπάρχει, τότε η εξωτερική διαταραχή «παραβιάζει» ούτως ειπείν «ανοικτές θύρες». Τούτο σημαίνει ότι μια fractal δομή παρουσιάζει μεγάλη αναισθησία σε τυχαίες διαταραχές συγκεκριμένα το μορφογεννητικό σφάλμα αυξάνεται λογαριθμικά με τη μέση απόκλιση της διαταραχής, ενώ για μια μη fractal δομή θα αυξανόταν εκθετικά. Μια εντυπωσιακή βιολογική εφαρμογή της χαοτικής δυναμικής εντοπίζεται στην περιοχή της κλινικής καρδιολογίας.

    Μέχρι και προ πέντε περίπου ετών επιστεύετο ότι η «υγιής» καρδιά παρουσιάζει αυστηρή περιοδικότητα, δηλαδή η ασυμπτωματικά ευσταθής δυναμική της είναι ένας «οριακός κύκλος». Πρόσφατες κλινικές και επιδημιολογικές σπουδές ανατρέπουν άρδην την (εύλογη!) αυτή άποψη. Ο δρ Any Goldberger στην καρδιολογική κλινική του Harvard άρχισε προ πενταετίας μια συστηματική φασματική ανάλυση του QRS ρυθμού (που καταγράφεται σε εξετάσεις ρουτίνας από τον κοινό ηλεκτροκαρδιογράφο) του κοιλιακού μυοκαρδίου. Βρήκε ότι σε υγιή άτομα το φάσμα αυτό σε διπλή λογαριθμική κλίμακα είναι για μια συνεχή περιοχή συχνοτήτων ~ 0.3 Hz - 100 Hz μία ευθεία γραμμή με κλίση -1 (αυτό που ονομάζουμε «1/f θόρυβο») αλλά σε άτομα επιδεκτικά σε ανατάξιμη ή μη ανατάξιμη κοιλιακή μαρμαρυγή (ventricular fibrillation) το φάσμα αυτό συρρικνώνεται σημαντικά (η κλίση γίνεται -1,5, -2, -3,0...) έτσι ώστε οι υψηλές συχνότητες να αποκόπτονται. Τι σημαίνει αυτό;

      Σημαίνει ότι η λειτουργία του υγιούς κοιλιακού μυοκαρδίου οφείλει να είναι εν τινι μέτρω «θορυβώδης» ώστε να καθιστά το άτομο ικανό να προσαρμόζεται σε ερεθίσματα (συγκινήσεις, μυϊκή καταπόνηση) που απαιτούν μικρό χρόνο χαλάρωσης (δηλαδή, υψηλές συχνότητες). Η ασυμπτωματική ευσταθής τροχιά (ο ελκυστής) μιας τέτοιας χρονοσειράς QRS με φάσμα «1/f-noise» δεν είναι οριακός κύκλος (πράγμα που θα έδιδε ένα διακριτό φάσμα συχνοτήτων) αλλά ένας χαοτικός ελκυστής με «διαστατικότητα» της τάξεως του ~5,2 (και όχι 1, όπως θα συνέβαινε αν ο ελκυστής ήταν οριακός κύκλος).

     Ας σημειωθεί ότι αυτή η χαοτική λειτουργική συμπεριφορά του (υγιούς) κοιλιακού μυοκαρδίου είναι απότοκος της fractal δομής ενός (αυτοομοίου) δενδριτικού σχηματισμού κυτταρικών αξόνων του μυοκαρδίου (του His-Purkinje σχηματισμού) μέσω του οποίου ο παλμός του κατωτέρου καρδιακού βηματοδότου (του κόμβου AV) μεταβιβάζεται στο κοιλιακό μυοκάρδιο. Τυχόν τοπολογική παραμόρφωση του παραπάνω δενδριτικού σχηματισμού (οφειλόμενη σε παθολογικά αίτια) τροποποιεί άρδην (και επί τα χείρω) το λειτουργικό φάσμα του υγιούς μυοκαρδίου, δηλαδή το «στενεύει», με αποτέλεσμα ο κάτοχός του να αδυνατεί να αντεπεξέλθει σε ξαφνικά ερεθίσματα που, όπως είπαμε, απαιτούν μικρούς χρόνους χαλάρωσης.

       Η εφαρμογή στον εγκέφαλο

     Τέλος, αξίζει να αναφερθεί μια εφαρμογή των χαοτικών συστημάτων με πολλαπλούς ελκυστές (κατηγορίες - μνήμες) στη δυναμική του εγκεφαλικού φλοιού: η δυναμική αυτή πειραματικά ελέγχεται με το ηλεκτροεγκεφαλογράφημα, που είναι (όπως και το ηλεκτροκαρδιογράφημα) η καταγραφή μιας μονοδιάστατης προβολής (χρονοσειράς) μιας πολυδιάστατης δυναμικής διαδικασίας. 

      Στο προκείμενο, οι διάφορες μνήμες - κατηγορίες - ελκυστές στον εγκεφαλικό φλοιό έχουν ως hardware «υλική υποδομή» υποσύνολα νευρωνικών δικτύων.

  Ένας νευροφυσιολογικός «βηματοδότης» βρόχος ανάδρασης του οποίου η δυναμική εκπηγάζει από ειδικά νευρωνικά κέντρα του θαλάμου (the «thalamocortical» pacemaker), που εξικνείται μέχρι των νευρωνικών δικτύων του φλοιού και επιστρέφει στον θάλαμο, είναι υπεύθυνος για την εκ περιτροπής στον χρόνο «αναζωπύρωση» των καθ' έκαστα συνυπαρχουσών μνημών - κατηγοριών - χαοτικών ελκυστών. 

     Κατά τη διάρκεια συμπεριφερικών καθεστώτων, όπως π.χ. η κατάσταση χαλάρωσης (relaxation) και ο ελαφρός ύπνος, η δυναμική του παραπάνω βηματοδότη είναι και αυτή ένας χαοτικός ελκυστής σχετικά μικρής διαστατικότητας (~3-4) και η διαλειπτική διαδικασία μεταπτώσεώς του από τη μία μνήμη στην άλλη είναι σχετικά ομοιογενής (δηλαδή, περίπου ίσος χρόνος «προσοχής» εκχωρείται σε κάθε μία από τις συνυπάρχουσες μνήμες). 

     Κατά τη διάρκεια όμως ενεργού συμμετοχής του ατόμου σε επίλυση προβλημάτων ή αναγνωρίσεως προτύπων ο νευροφυσιολογικός βηματοδότης καθίσταται χαρακτηριστικά ανομοιογενής: ο χρόνος που διατίθεται για κάθε μία από τις συνυπάρχουσες μνήμες - κατηγορίες διαφοροποιείται δραματικά έτσι ώστε λίγες μνήμες διεκδικούν από πλευράς χρόνου «προσοχής» τη μερίδα του λέοντος ενώ οι υπόλοιπες πρακτικά παραμερίζονται εντελώς. Αυτή η ανομοιογενής διαλεπτότητα συνεπάγεται και την αύξηση της διαστατικότητας του βηματοδότη - ελκυστή που από την τιμή 3-4 είναι δυνατόν να μεταπηδήσει στην τάξη του ~10 δείχνοντας με αυτόν τον τρόπο μια αύξηση της χωρητικότητάς του (των βαθμών ελευθερίας του) ως επεξεργαστή πληροφορίας. 

      Είναι, τέλος, αξιοσημείωτο ότι κατά τη διάρκεια επιληπτικών επεισοδίων (petit-mal epilepsy), όπου σχεδόν εξ ορισμού ο νευροφυσιολογικός επεξεργαστής πληροφορίας αδρανοποιείται, η διαστατικότητα του βηματοδότη πέφτει στην τιμή ~ 2. Ετσι μπορούμε να πούμε ότι η χαοτική δυναμική προσφέρει ένα πειστικό πρότυπο ενός βιολογικού επεξεργαστή πληροφορίας που πριν από όλα πρέπει να είναι άνετα αυτοπροσαρμόσιμος. 

    Η υγιής καρδιά και ο υγιής εγκέφαλος λοιπόν λειτουργικά εμφανίζουν χαοτικούς ελκυστές μεγάλης διαστατικότητας με ευρέα συνεχή φάσματα συχνοτήτων. Κατ' αντίθεση, η άρρωστη καρδιά και ο άρρωστος εγκέφαλος εμφανίζουν λειτουργικά οιονεί περιοδική συμπεριφορά (μικρής διαστατικότητας και ισχνού διακριτού φάσματος συχνοτήτων). 

    Μπορούμε έτσι ίσως να πούμε ότι η επιληψία αφενός και η κοιλιακή μαρμαρυγή αφετέρου είναι ούτως ειπείν «ισομορφικές» ασθένειες: και στις δύο περιπτώσεις το αντίστοιχο βιολογικό όργανο είναι ανίκανο να λειτουργήσει σαν προσαρμοστικός επεξεργαστής πληροφορίας. 

      Τέλος, αξίζει να αναφερθεί ότι η σύγχρονη αντίληψη για τον τρόπο αναγνώρισης ενός ενζύμου από το υπόστρωμά του δεν αφορά στην προσαρμογή των αντιστοίχων στερεοδομών (τύπου «κλειδιού - κλειδαριάς») αλλά μάλλον στη δυναμική αλληλεπίδραση των φασμάτων των συχνοτήτων του ενζύμου (που είναι ένα χαοτικό δυναμικό σύστημα) με τον υποδοχέα του (που είναι επίσης ένα χαοτικό δυναμικό.

ο κ. Ι.Σ. Νίκολης

είναι ομότιμος καθηγητής Θεωρίας Πληροφοριών και Κυβερνητικής

 στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών

     ΥΓ. Θα ακολουθήσει σύντομα άρθρο, με τη διευκρίνηση των όρων της θεωρίας του    Χάους, για όσους τη χρειάζονται.