Ο θάνατος της βεβαιότητας

Χάος

Ήδη από το 1880 ο κορυφαίος Γάλλος μαθηματικός Henri Poincare απέδειξε ότι το σύστημα των τριών σωμάτων είναι ασταθές. Η τροχιά της γης δεν είναι ευσταθής, δηλαδή προβλέψιμη, σε μεγάλο βάθος χρόνου, αν στο σύστημα ληφθεί υπόψιν και η βαρυτική επίδραση της Σελήνης, πέραν εκείνης του Ήλιου (πόσο μάλλον αν βάλουμε στο παιχνίδι και τους υπόλοιπους πλανήτες). Η νέα επιστήμη του Χάους, που ανατέλλει, αποκαλύπτει ότι η πολυπλοκότητα που κυριαρχεί στον φυσικό κόσμο, απλά δεν επιλύεται με μαθηματική ανάλυση, όταν δεν καταφεύγει κανείς στα γνωστά μας από το Λύκειο τρικάκια της Φυσικής (έστω αμελητέο αυτό κι ανύπαρκτο το άλλο) και θέτει το ζήτημα της αβεβαιότητας, του ορίζοντα προβλεψιμότητας, σε μη γραμμικά δυναμικά συστήματα, μακράν της ισορροπίας.

Κβαντική Πιθανότητα

Τη δεκαετία του 1920, αναπτύσσεται η κβαντομηχανική, που δείχνει ότι η κλασική Νευτώνεια Μηχανική δεν ισχύει στη μικροσκοπική κλίμακα. Η πιθανοκρατική συμπεριφορά (πχ στην αποδιέγερση ενός ατόμου) δεν είναι αποτέλεσμα ατελούς γνώσης, κρυμμένων δηλαδή μεταβλητών, που αν ήταν γνωστές θα προσδιόριζαν μονοσήμαντα την κατάσταση ενός κβαντικού του συστήματος, αλλά (σύμφωνα τουλάχιστον με την κρατούσα  άποψη, γνωστή ως Σχολή της Κοπεγχάγης), αποτελεί εγγενές χαρακτηριστικό της φύσης στο επίπεδο του μικρόκοσμου.

Αρχή της απροσδιοριστίας

Το 1927 ο 26χρονος Γερμανός φυσικός Βέρνερ Χάϊζενμπεργκ, διατυπώνει ένα από τα βασικά αξιώματα της κβαντικής φυσικής,  σύμφωνα με το οποίο στον μικρόκοσμο δεν είναι δυνατόν να γνωρίζουμε ταυτόχρονα και με βεβαιότητα τη θέση και την ταχύτητα (ή την ορμή) ενός υποατομικού σωματιδίου. Η αρχή του έρχεται σε αντίθεση με την αρχή της αιτιοκρατίας, αφού αποδέχεται πως υπάρχουν γεγονότα που η εκδήλωσή τους δεν υπαγορεύεται από κάποια αιτία.

Τα θεωρήματα της Μη Πληρότητας 

του Kurt Godel

Ένας δυναμίτης στα θεμέλια των Μαθηματικών

αλλά και επανάσταση στη φιλοσοφία: υπάρχει αξεπέραστο όριο στη γνώση

Το 1931 έρχεται και η σειρά των Μαθηματικών, που θεωρείται ως το απώτατο προπύργιο του ορθολογισμού. Ένας νεαρός, 25αρης τότε, μαθηματικός καταφέρνει με δυο θεωρήματα, που παρουσιάζει σε μια εικοσάλεπτη ομιλία του σε μαθηματικό συνέδριο, να κλονίσει ανεπανόρθωτα την πεποίθηση ότι μπορούμε να γνωρίσουμε τα πάντα με βεβαιότητα. Αποδεικνύει ότι οι δυνατότητες των μαθηματικών, έχουν αξεπέραστα όρια, όπως άλλωστε και η αλαζονεία του απόλυτου ορθολογισμού, που θεωρούσε πως η αλήθεια είναι εξασφαλισμένη μέσω μιας αυτόματης θεωρητικής μεθοδολογίας.

Αλλά ας τα πάρουμε καλύτερα από την αρχή:

Το Μπρνο (Brno) είναι σήμερα η δεύτερη μεγαλύτερη σε πληθυσμό πόλη της Τσεχίας, στην Ανατολική Μοραβία, γενέτειρα του γνωστού σύγχρονου μας λογοτέχνη Μίλαν Κούντερα. Η πόλη αναφέρεται ήδη από τον 5ο αιώνα, ενώ το 1906, τη χρονιά που γεννήθηκε ο Κουρτ Γκέντελ, ανήκε στην αυτοκρατορία της Αυστροουγγαρίας.

Το παρατσούκλι του στην γερμανόφωνη εύπορη οικογένεια του, λόγω της τεράστιας περιέργειας του, ήταν ο 'κύριος γιατί'.  Οι καιροί όμως είναι πολύ ταραγμένοι κι έτσι στα 12 του, με τη διάσπαση της αυτοκρατορίας στο τέλος του Α΄ Παγκόσμιου Πολέμου, γίνεται αυτόματα Τσεχοσλοβάκος. Στα 23 του θα γίνει Αυστριακός πολίτης, επειδή όπως δήλωνε ο ίδιος "ένοιωθε σαν εξόριστος Αυστριακός", στα 32 του Γερμανός και το 1947, με τη βοήθεια του στενού του φίλου Α. Αϊνστάιν, Αμερικανός.

Στο Μπρνο λοιπόν παρακολουθεί τα πρώτα του μαθήματα και αριστεύει στα μαθηματικά και τις γλώσσες. Στα 18 του ακολουθεί τον μεγαλύτερο αδελφό του στη Βιέννη, όπου αρχικά παρακολουθεί φυσική, δείχνει ζωηρό ενδιαφέρον για τη μαθηματική λογική (μελε-τά το έργο του Μ. Ράσελ και παρακολουθεί διάλεξη του Χίλμπερτ στη Μπολόνια) και συμμετέχει στις φιλοσοφικές συζητήσεις του Κύκλου της Βιέννης. Στα 23 του ολοκλη-ρώνει τη διδακτορική διατριβή του (του απονέμεται ο τίτλος του διδάκτορα το 1930).

Έναν μόνο χρόνο αργότερα, το 1931, δημοσιεύει τα διάσημα θεωρήματά του, με ένα άρθρο του: 'Περί των τυπικά αναποφάσιστων προτάσεων του "Principia Mthematica" και των σχετικών συστημάτων'.

Το Καλίνινγκραντ, στη διπλανή φωτογρα-φία, το πρώην Κένιξμπεργκ της Ανατολικής Πρωσίας, είναι ένα όμορφο (ρωσικό σήμερα, από το 1945) λιμάνι της Βαλτικής, στις όχθες του ποταμού Πρεγκόλυα, μεταξύ Πολωνίας και Λιθουανίας.  Εδώ γεννήθηκε το 1724 ο Ε. Κάντ, αλλά και μια ηγετική προσωπικότητα των σύγχρονων μαθηματικών, ο David Hilbert, το 1862. Εδώ έγινε και η ιστορική εικοσά-λεπτη ανακοίνωση του Γκέντελ, σε ένα μαθηματικό συνέδριο το 1931.

Με το δυο εντυπωσιακά και ανατρεπτικά του θεωρήματα, γνωστά ως  θεώρηματα της 'μη πληρότητας', έδειξε απλά ότι τα μαθηματικά ΄μπάζουν΄ και μάλιστα από τα θεμέλια τους. Με το πρώτο, απέδειξε πως ένα αξιωματικό λογικό σύστημα, μια μαθηματική θεωρία, δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα πλήρης και συνεπής, δηλαδή χωρίς αντιφάσεις και με το δεύτερο ότι η συνέπεια του συστήματος  δεν μπορεί να αποδειχθεί μέσω των αξιωμάτων, με τα μέσα δηλαδή που μας δίνει το σύστημα.

Με άλλα λόγια δεν μπορούμε να τα γνωρίζουμε όλα με συνέπεια ή αλλιώς όλες οι ερωτήσεις των μαθηματικών δεν μπορούν να απαντηθούν. Υπάρχουν αληθείς προτάσεις που δεν μπορούμε να αποδείξουμε, αλλά και προτάσεις που δεν μπορούμε να αποφανθούμε σίγουρα αν είναι αληθείς ή ψευδείς (συμβολίζονται ως  π_1-προτάσεις ) 

Κατασκευάζοντας ένα λογικό συνεπές σύστημα, που αναφέρεται σε κάποια περιοχή της γνώσης,  και στηρίζεται σε κάποια λίγα αξιώματα, (και περιέχει μια σειρά από θεωρίες) δεν μπορούμε να παράγουμε (να αποδείξουμε) όλες τις αλήθειες της γνωστικής περιοχής που μελετάμε και με αλάνθαστο τρόπο. Στη, αριθμητική πχ του Peano, πάντα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός, στον οποίο δεν μπορούμε να καταλήξουμε ξεκινώντας από τους άλλους αριθμούς του συστήματος.

Απόλυτη βεβαιότητα για όλα, δεν υπάρχει, ούτε και θα υπάρξει ποτέ !

Τελικά έχουμε δυο και μόνον επιλογές, άρα θα πρέπει κάθε φορά να διαλέξουμε:

• είτε να απαιτήσουμε συνέπεια (σιγουριά, βεβαιότητα), όχι όμως και πληρότητα (οι ερωτήσεις θα είναι πάντα περισσότερες από τις απαντήσεις)

ή

• για να έχουμε πληρότητα, θα πρέπει να αποδεχθούμε τη μη συνέπεια, τις αντιφάσεις !!!

και τα δυο μαζί απλά δεν υπάρχουν, δεν θα μπορέσουμε να τα έχουμε ταυτόχρονα ποτέ.

Με τα θεωρήματά του ο Γκέντελ έδειξε ότι υπάρχει ένα όριο στη γνώση μας για το κάθε τι, γιατί πάντα θα απαιτούνται περισσότερα στοιχεία που αναγκαστικά θα μας δίνονται μόνο απ' έξω από το υπό μελέτη σύστημα. Ποτέ δεν θα συλλάβουμε το σύνολο των μαθηματικών αληθειών με μια πεπερασμένη ή αναδρομική λίστα καθαρά τυπικών αξιωμάτων.

       

Το γνωστό αμερικανικό περιοδικό Time παρουσίασε το 1999 τον Κουρτ Γκέντελ, σαν την κορυφαία μαθηματική προσωπικότητα του 20ου αιώνα. Πάνω δεξιά με τη σύζυγο του Άντελ Νιμπέρσκυ, μια διαζευγμένη χορεύτρια, έξι χρόνια μεγαλύτερη του, που παντρεύτηκε το 1938. δεν απέκτησαν παιδιά.

Συνέπειες
των θεωρημάτων του Γκέντελ

• στα μαθηματικά: καταργείται ουσιαστικά το φιλόδοξο πρόγραμμα του Hilbert, γνωστό ως φορμαλισμός των μαθηματικών.

• στη φυσική: ακόμα κι αν κατασκευάσουμε τη θεωρία των πάντων, θα είναι μαθηματικά ασυνεπής, με ότι αυτό συνεπάγεται. 

• στην κοσμολογία: για να καταλάβει κανείς πλήρως το σύμπαν, θα έπρεπε να μπορεί να σταθεί (και να το παρατηρεί) σε κάποιο (Αρχιμήδειο) σημείο έξω απ΄ αυτό. H προσπάθεια μας να το κατανοήσουμε έχει ανυπέρβλητα όρια και η  από μέσα μελέτη του είναι ανώφελη.

• στην επιστήμη των υπολογιστών: Ο Penrose, καθηγητής μαθηματικών στην Οξφόρδη, στηρίχθηκε στα θεωρήματα της μη πληρότητας για να δείξει ότι ο ανθρώπινος εγκέφαλος δεν λειτουργεί σαν τους ΗΥ και πως δεν μπορεί να επιτευχθεί η τεχνητή νοημοσύνη.

      

Ο Αϊντάϊν,  βοήθησε τον νεότερο φίλο του Γκέντελ να πολιτογραφηθεί Αμερικανός και να βρει μια θέση στο περίφημο Institute of Advanced Study του Παν/μίου του Πρίνστον (μια κλειστή λέσχη κορυφαίων διανοουμένων με μοναδική υποχρέωση να συζητούν) στις ΗΠΑ. Οι περίπατοι και οι συζητήσεις τους από και προς το Πανεπιστήμιο του Πρίνστον, είναι θρυλικές. Στο κέντρο η ταφόπλακα του Γκέντελ στο κοιμητήριο του Πρίνστον, η βαριά ταφόπλακα της αισιοδοξίας της επιστήμης για βεβαιότητα.

σχόλιο

σύμφωνα με τον δικό μας, τον Δημήτρη Νανόπουλο,

τα θεωρήματα της μη πληρότητας είναι προφανώς ισοδύναμα 

με την αρχή της απροσδιοριστίας του Χάϊζενμπεργκ 

αλλά και με το θεώρημα της μη υπολογισιμότητας του Alan Turing (μη αποφασίσιμα σύνολα στη θεωρία αναδρομής, κεντρικό πυλώνα της επιστήμης των ΗΥ), που δείχνουν ότι το όραμα του σύγχρονου Αρχιμήδη, του Hilbert, για την επαναθεμελίωση των μαθηματικών και της σύγχρονης φυσικής σε σταθερές και ολοκληρωμένες λογικές βάσεις (σε ένα σωστά επιλεγμένο πεπερασμένο σύστημα αξιωμάτων) δεν ήταν παρά άλλη μια ουτοπία.